おおまかには下記の流れになりますのでご参考になれば幸いです。

①傷病手当金支給申請書の「被保険者記入用（2枚）」を作成する

②医師に「療養担当者記入用」の記入を依頼する

③会社で「事業主記入用」の記入する

④4枚の書類が揃ったら、保険者(協会けんぽや保険組合)へ傷病手当金の支給申請する
→支給申請は会社を経由して行うのが一般的ですが、本人が直接郵送でも大丈夫なようです。

申請書類及び必要資料の詳細は下記の協会けんぽHPをご覧ください（フォーマット等もございます）。
https://www.kyoukaikenpo.or.jp/g2/cat230/r124/

また傷病手当金に関する要件などは下記に記載されています。

https://www.kyoukaikenpo.or.jp/g3/cat320/sb3170/sbb31710/1950-271/